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开课吧荐书 |《数学之美》告诉你如何使用数学思维解码世界

2021-07-27 10:04 · 稿源:站长之家用户

吴军博士的《数学之美》发行于2014 年11 月,这个原载于谷歌黑板报的书籍,一经发行就取得了巨大的成功。在这本书中,吴军博士从人类文明起源讲到科技革命。让读者了解到,原来,在我们生活的每个地方,都有数学的身影。

在吴军博士的笔下,数学将不再是一个一个枯燥的符号,而是结构人类社会的一把锋利的手术刀。在书中,我们将会知道数学是如何破解文字的秘密,是如何传递信息,又是如何影响人类发展的。下面我们先从一个文字开始,来感受数学的神奇之处。

文字背后的逻辑

文字是一个伟大的发明,它将整个人类文明信息的传播提升了不止一个数量级,也正是从这个时候开始,文化、甚至说文明才真正的在人类社会诞生。

从第一个工业革命到第二次工业革命、再到现在的信息科技革命,每一次人类的巨大跃迁都伴随着信息传播手段的更新,可以说,信息的传播见证了人类文明的发展。

从东汉许慎的《说文解字》到现在发展成一门独立的学科,人们从来没有放弃对文字这门学科的研究,而近些年来,随着计算机技术的发展,人们发现,也许数学才是解释文字这一门古老学科的最佳武器,这不仅让人想起黑格尔的那句名言

数学是上帝描述自然的符号  ——黑格尔

一切皆是概率

上个世纪70 年代,科学家们试图让计算机判断一句话是否合乎语法、含义是否清晰。但是,实践证明,这条路是走不通的。然而,换一个角度,利用统计学的方法,就完美的解决了这个问题。

思路很简单,判断一句话是否正确,就看这句话出现的可能性有多大,这个可能性用概率来衡量。

假定S代表一句有意义的话,那么这句话出现的概率就是P(S),W1—Wn代表这句话所包含的词语,那么P(S)就可以这样来表示

P(S)=P(W1,W2·····Wn)

 利用条件概率公式来展开上面的公式 

P(S)=P(W1)*P(W2|W1)·····

P(Wn|W1,W2·······,Wn-1)

从上面的公式我们发现,越往后越难算,下面我们引入另一个知识点来简化这个问题,也就是马尔可夫假设,假设一个词Wi出现的概率只和它前一个词Wi-1 有关,那么这个公式就可以简化成下面这样

P(S)=P(W1)*P(W2|W1)·····P(Wn|Wn-1)

你看,这样我们就完美的把一个文字问题用数学公式完美解释了,因为有大量的机读文本和词库,所以我们很容易就可以得出这些文本的相对频度,利用大数定律就可以算出上面的结果了,感兴趣的同学不妨亲自推导一下接下来的公式。

上面的案例在书中可谓是比比皆是,在《数学之美》中,吴军老师将数学后面的本质思维写得如此透彻、生动,不得不佩服吴军老师的文笔。正如李开复在这本书的前言中写道:

数学不是我们一般联想到的枯燥深奥的符号,而是实实在在源于生活的有趣的现象和延伸。数学, 其实无处不在,而且有一种让人惊叹的韵律和美!

度量信息的尺子

前面我们说过,信息见证了人类文明的发展,那么信息是否也可也用数学来定义呢?

我们先来思考一个问题,一条信息的信息量是否与其不确定性有关系?

不确定性越大,你所需要的信息量就越多。反之,对于非常确定的事情,你不需要很多的信息量就可以搞定。

那么如何来度量信息量的多少呢?香农提出了信息熵的概念。

之前说过,信息量与其不确定性成正比,从统计学的角度来讲,就是一件事物的概率越高,其不确定性就越小,信息量就越小。所以我们可以很容易得到信息量的公式:

????(????)代表随机事件????的概率。可能有同学会问,那为什么要取对数啊?

这个问题问的好。其实,取对数,是为了将区间从 [1,∞]映射到[0,∞],这里的对数一般取2 为底。

解决了信息量的问题,我们再来看信息熵。

想一下,信息熵的本质是什么?是不是可以理解为信息量的数学期望?如果是这样,就很好理解信息熵的公式了。 

H(p,q)代表信息熵,熵越大,就代表我们要弄懂一件事情所需要的信息越多。

信息熵是一个非常复杂的系统,有许多变种,比如条件熵、联合熵等等,在这里我们就说下相对简单的信息熵。

条件熵的意思是在给定的X条件下,Y的条件概率分布的熵对X的数学期望,如果你忘记了条件概率的公式,还不去翻下大学时期的概率课本。结合条件概率公式和信息熵公式,我们就很容易得出条件熵的公式。

通过几个我们大学时期学过的简单公式,我们就完美的将文字和信息全部都用数学语言来描绘了出来。接下来,我们还可以用更复杂的数学模型来模拟信息传播的过程,是不是很神奇!?

现在想想,你身边有没有其他事物和现象也能用数学语言来描述,你将会发现,世间万物没有不是数学不能描述的。

用数学沟通世界

画家通过画笔来描绘世界,作家通过文字来书写人间,每个人都在用自己特定的方式来和这个世界相处。现在,我们意识到,所有人都可以通过一种语言来和这个世界沟通,那就是数学。

存在过这个世间的语言有数千种,目前主流使用的语言也有一百多种,这些语言的语法和含义不尽相同。但是,我们却可以通过一种数学模型来解释所有的语言,还有比这更令人兴奋的事情么?

正如吴军博士说的那样。世间万般表象的背后皆有规律,科学研究的真正目的,在于找到这些规律并能能够举一反三地应用这些规律,而数学是描述这些规律的最好工具。

如果你还对这个世界抱有好奇心,并希望探究这世间万物的背后规律,不妨读一读这本《数学之美》,相信你会对这个世界会有新的认识。


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